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最近更新 July 30, 2015

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Your Way 21點

簡介

「Your Way 21點」⼤概可以描述成「Pai Gow牌九」與「Blackjack⼆⼗ ⼀點」之間的混合體。我是2015年6⽉26⽇在拉斯維加斯的Orleans賭場 第⼀次⾒到這個遊戲。基本的概念是, ⼀開始玩家與莊家各發四張牌, 各⾃ 安排成⾼低兩⼿各兩張的牌⾯。接著玩家與莊家以Pai Gow牌九的玩法去 ⽐較每⼀⼿牌。如同Blackjack⼆⼗⼀點那樣, 如果玩家先爆牌的話、他就 算是輸局。

規則

  1. 使⽤單副52張的牌組。
  2. 所有牌的計點如同Blackjack⼆⼗⼀點。
  3. 玩家必須押注兩筆相同⾦額的賭注。此外, 還有⼀種選擇性的撲克side bet邊注、稱為「Poker Bet撲克押注」。
  4. 莊家會發給玩家與他⾃⼰各四張牌。玩家的押注應該基於玩家四張牌的 poker撲克價值、其⽀付列表如下。
  5. 玩家要安排他的四張牌成為各兩張牌的兩⼿⾼牌與低牌。⾼牌那⼿牌⾯ 的點數必須多過低牌那⼿牌⾯的點數。為了計點的⺫的、Aces應算為11 點。
  6. 玩家應該將每⼀⼿牌依照傳統Blackjack⼆⼗⼀點的玩法、如下列規則:
    • 玩家可以在任何的兩張牌加倍賭注。
    • 玩家分牌後可以加倍賭注。
    • 不允許投降。
  7. 如同Blackjack⼆⼗⼀點遊戲, 如果莊家爆牌、則那⼿牌⽴即算為輸局。
  8. 莊家應按照以下的house way賭場⽅式、如同玩家那般將他的牌分成⾼ 低兩⼿牌。
  9. 莊家應該如同傳統的Blackjack⼆⼗⼀點那般、將每⼀⼿牌玩完。
  10. 莊家在軟17點時補牌。
  11. 玩家的低牌應與莊家的低牌相⽐、較⾼點數的那⼿牌以不超過21點者 為贏。
  12. 玩家的⾼牌應與莊家的⾼牌相⽐、較⾼點數的那⼿牌以不超過21點者 為贏。
  13. 所有玩家的贏注得以⽀付even money等額注⾦的賠率。雙⽅Ties和局 算為push平⼿。
  14. ⼀⼿blackjack的牌⾯並無特別。⼀張Ace與⼀張10點牌算為21點、等 同於其他的21點牌⾯。
 

⺫前我並不知道這些規則是如何:

  • 是否允許Aces對⼦再度分牌。
  • 玩家可以在其他對⼦再度分牌⾄幾⼿牌。
 

賭場⽅式

 

以下為house way賭場⽅式。

  1. 如果19點或更多點的低牌可以排成、那麼莊家排出最佳可能的低牌。
  2. 此外, 如果20點或更多點的⾼牌可以排成、那麼莊家排出最佳可能的⾼ 牌。
  3. 否則, 如果10點或11點的低牌可以排成、那麼莊家排出可能的11點低 牌、不然就是10點的低牌。
  4. 否則, 如果18點的低牌可以排成、那麼莊家就排出18點的低牌。
  5. 此外, 如果17點或更多點的⾼牌可以排成、那麼莊家排出最佳可能的⾼ 牌。
  6. 此外, 如果莊家剛好有兩張Aces、那麼莊家將⼀張Ace排到⾼牌、另⼀ 張Ace排到低牌。
  7. 不然的話, 莊家盡可能排成最低點數的⾼牌。
  8. ⾼牌點數必須⾼於或等於低牌點數。當⼀⼿牌⾯在計點Aces時、Aces 算為11點、除⾮兩張Aces被總計成12點時例外。
 

莊家機率

 

低牌

 

以下列表顯⽰莊家最後的低牌機率、依照亮出的牌⾯來排列。

莊家機率 — 低牌

亮出的牌⾯ 17 18 19 20 21 爆點
2 0.141038 0.140081 0.136097 0.148336 0.148007 0.286442
3 0.137755 0.142297 0.131521 0.147142 0.152411 0.288874
4 0.137572 0.134960 0.140780 0.143045 0.154081 0.289562
5 0.128217 0.133162 0.136514 0.144462 0.153137 0.304508
6 0.108879 0.124830 0.128015 0.147887 0.159525 0.330863
7 0.153579 0.112540 0.113737 0.142024 0.155963 0.322157
8 0.121575 0.127469 0.140191 0.137233 0.157524 0.316008
9 0.123183 0.114199 0.191768 0.108019 0.147034 0.315796
10 0.141782 0.123084 0.155094 0.149405 0.116674 0.313961
A 0.121981 0.116728 0.178387 0.148116 0.128458 0.306330
 

⾼牌

 

以下列表顯⽰莊家最後的⾼牌機率、依照亮出的牌⾯來排列。

莊家機率 — ⾼牌

亮出的牌⾯ 17 18 19 20 21 爆點
2 0.123038 0.088104 0.065978 0.296282 0.205399 0.221200
3 0.074791 0.072152 0.131196 0.293259 0.200482 0.228120
4 0.065775 0.107497 0.138077 0.285204 0.193281 0.210166
5 0.092675 0.112161 0.133043 0.279237 0.184936 0.197948
6 0.100629 0.109416 0.132167 0.277247 0.181214 0.199327
7 0.179955 0.123526 0.119952 0.264808 0.165956 0.145804
8 0.089787 0.207219 0.154254 0.283650 0.127485 0.137606
9 0.061737 0.083412 0.317847 0.312994 0.129184 0.094826
10 0.038418 0.044455 0.078161 0.559422 0.216943 0.062601
A 0.019336 0.051259 0.071591 0.143033 0.665055 0.049726
 

分牌策略

 

我對於這樣分牌策略的表現⽅式感到抱歉。我唯⼀的理由是, ⼤部份時候 的決定都是相當明顯的。⾄於其他時候, 使⽤以下玩家起始牌⾯組合與莊 家朝上牌⾯的期望值來決定。每種可⾏⽅式就是加總⾼低牌的期望值、採 ⽤最⼤的總合值去玩牌。

例如, 假設你有 2-7-9-A ⽽莊家顯⽰⼀張10點牌。這裡是每⼀種可能分牌 的期望值:

  • 27/A9: 0.0083 + 0.0067 = 0.0150
  • 29/A7: 0.3703 - 0.5249 = -0.1546
  • A2/79:-0.0061 - 0.7179 = -0.7240
 

如你所⾒, 分牌成27/A9的⾼低牌⾯有最⾼的期望值總合、因此這是最佳的 玩法。

分牌策略 — 低牌Expand

玩家牌⾯ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A
5 -0.2407 -0.2393 -0.2395 -0.2198 -0.1870 -0.1892 -0.2054 -0.2004 -0.1942 -0.2153
6 -0.2547 -0.2531 -0.2531 -0.2327 -0.1984 -0.2019 -0.2177 -0.2130 -0.2076 -0.2281
7 -0.2254 -0.2245 -0.2247 -0.2066 -0.1771 -0.1662 -0.1931 -0.1895 -0.1778 -0.2055
8 -0.1369 -0.1363 -0.1385 -0.1236 -0.1026 -0.0826 -0.1135 -0.1115 -0.0933 -0.1281
9 -0.0368 -0.0371 -0.0388 -0.0262 -0.0112 0.0029 -0.0172 -0.0039 0.0083 -0.0224
10 0.1414 0.1398 0.1396 0.1682 0.2021 0.2157 0.1877 0.2227 0.2475 0.1986
11 0.2782 0.2781 0.2768 0.3055 0.3440 0.3532 0.3237 0.3404 0.3703 0.3263
12 -0.3279 -0.3281 -0.3287 -0.3184 -0.3037 -0.2979 -0.3114 -0.3049 -0.2957 -0.3140
13 -0.3759 -0.3761 -0.3767 -0.3671 -0.3383 -0.3481 -0.3606 -0.3546 -0.3460 -0.3630
14 -0.4205 -0.4207 -0.4209 -0.3910 -0.3383 -0.3557 -0.3680 -0.3684 -0.3721 -0.3873
15 -0.4271 -0.4223 -0.4209 -0.3910 -0.3383 -0.3557 -0.3680 -0.3684 -0.3721 -0.3873
16 -0.4271 -0.4223 -0.4209 -0.3910 -0.3383 -0.3557 -0.3680 -0.3684 -0.3721 -0.3873
17 -0.2861 -0.2845 -0.2833 -0.2628 -0.2294 -0.2021 -0.2464 -0.2452 -0.2303 -0.2654
18 -0.0050 -0.0044 -0.0108 -0.0014 0.0043 0.0640 0.0026 -0.0078 0.0346 -0.0267
19 0.2712 0.2694 0.2650 0.2683 0.2572 0.2903 0.2703 0.2981 0.3127 0.2685
20 0.5557 0.5480 0.5488 0.5493 0.5331 0.5460 0.5477 0.5979 0.6172 0.5950
A2 -0.0453 -0.0464 -0.0477 -0.0378 -0.0223 -0.0149 -0.0317 -0.0209 -0.0061 -0.0310
A3 -0.0817 -0.0827 -0.0838 -0.0682 -0.0449 -0.0409 -0.0573 -0.0487 -0.0378 -0.0616
A4 -0.1078 -0.1073 -0.1079 -0.0912 -0.0658 -0.0634 -0.0795 -0.0716 -0.0617 -0.0849
A5 -0.1306 -0.1298 -0.1303 -0.1126 -0.0853 -0.0843 -0.1001 -0.0928 -0.0839 -0.1065
A6 -0.1115 -0.1113 -0.1117 -0.0959 -0.0723 -0.0598 -0.0845 -0.0773 -0.0639 -0.0917
A7 -0.0050 -0.0044 -0.0108 -0.0014 0.0043 0.0640 0.0026 -0.0078 0.0346 -0.0267
A8 0.2712 0.2694 0.2650 0.2683 0.2572 0.2903 0.2703 0.2981 0.3127 0.2685
A9 0.5557 0.5480 0.5488 0.5493 0.5331 0.5460 0.5477 0.5979 0.6172 0.5950
A,10 0.8520 0.8476 0.8459 0.8469 0.8405 0.8440 0.8425 0.8530 0.8833 0.8715
2,2 -0.2241 -0.2242 -0.2248 -0.2060 -0.1748 -0.1758 -0.1923 -0.1869 -0.1798 -0.2014
3,3 -0.2547 -0.2531 -0.2531 -0.2327 -0.1984 -0.2019 -0.2177 -0.2130 -0.2076 -0.2281
4,4 -0.1369 -0.1363 -0.1385 -0.1236 -0.1026 -0.0826 -0.1135 -0.1115 -0.0933 -0.1281
5,5 0.1414 0.1398 0.1396 0.1682 0.2021 0.2157 0.1877 0.2227 0.2475 0.1986
6,6 -0.3279 -0.3281 -0.3287 -0.3184 -0.3037 -0.2979 -0.3114 -0.3049 -0.2957 -0.3140
7,7 -0.4205 -0.4201 -0.4207 -0.3768 -0.3085 -0.2782 -0.3449 -0.3320 -0.2994 -0.3704
8,8 -0.2121 -0.2113 -0.2168 -0.1807 -0.1323 -0.0808 -0.1567 -0.1476 -0.0995 -0.1873
9,9 -0.0050 -0.0044 -0.0108 -0.0014 0.0043 0.0640 0.0026 0.0220 0.0455 -0.0199
10,10 0.5557 0.5480 0.5488 0.5493 0.5331 0.5460 0.5477 0.5979 0.6172 0.5950
A,A 0.4064 0.4054 0.4036 0.4322 0.4680 0.4821 0.4495 0.4693 0.5053 0.4560
 

分牌策略 — ⾼牌Expand

玩家牌⾯ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A
5 -0.3814 -0.3896 -0.4030 -0.3938 -0.3877 -0.3687 -0.3804 -0.4467 -0.5819 -0.7106
6 -0.3953 -0.4011 -0.4185 -0.4152 -0.4094 -0.3911 -0.4024 -0.4664 -0.5968 -0.7209
7 -0.3727 -0.3908 -0.4122 -0.4056 -0.3980 -0.3918 -0.4252 -0.4863 -0.6117 -0.7312
8 -0.3108 -0.3502 -0.3641 -0.3476 -0.3381 -0.3053 -0.3495 -0.4815 -0.6271 -0.7359
9 -0.2449 -0.2711 -0.2735 -0.2564 -0.2476 -0.2132 -0.2260 -0.3459 -0.5803 -0.7015
10 -0.1013 -0.1118 -0.1135 -0.0992 -0.0912 -0.0631 -0.0605 -0.1311 -0.3591 -0.5948
11 0.0145 0.0021 -0.0031 0.0079 0.0146 0.0363 0.0344 -0.0290 -0.1799 -0.4083
12 -0.4425 -0.4551 -0.4614 -0.4530 -0.4476 -0.4307 -0.4407 -0.4993 -0.6206 -0.7367
13 -0.4823 -0.4940 -0.4999 -0.4921 -0.4871 -0.4714 -0.4807 -0.5350 -0.6477 -0.7555
14 -0.5193 -0.5301 -0.5356 -0.5284 -0.5237 -0.5091 -0.5178 -0.5683 -0.6728 -0.7729
15 -0.5536 -0.5438 -0.5688 -0.5621 -0.5577 -0.5442 -0.5522 -0.5991 -0.6962 -0.7892
16 -0.5576 -0.5438 -0.5797 -0.5933 -0.5893 -0.5767 -0.5842 -0.6277 -0.7179 -0.8042
17 -0.4346 -0.4690 -0.5139 -0.5114 -0.5007 -0.5284 -0.6139 -0.6543 -0.7381 -0.8182
18 -0.2234 -0.3220 -0.3406 -0.3066 -0.2907 -0.2250 -0.3380 -0.6035 -0.7535 -0.8106
19 -0.0693 -0.1187 -0.0950 -0.0614 -0.0491 0.0185 0.0235 -0.2022 -0.6309 -0.6878
20 0.2929 0.3058 0.3282 0.3509 0.3603 0.4033 0.4614 0.4286 0.0067 -0.4731
A2 -0.2017 -0.2146 -0.2167 -0.2046 -0.1979 -0.1736 -0.1745 -0.2454 -0.4100 -0.5967
A3 -0.2323 -0.2449 -0.2471 -0.2355 -0.2290 -0.2056 -0.2070 -0.2755 -0.4341 -0.6131
A4 -0.2627 -0.2691 -0.2772 -0.2660 -0.2598 -0.2373 -0.2390 -0.3053 -0.4578 -0.6291
A5 -0.2846 -0.2887 -0.3011 -0.2961 -0.2901 -0.2686 -0.2705 -0.3344 -0.4811 -0.6449
A6 -0.2689 -0.2856 -0.3022 -0.2939 -0.2861 -0.2768 -0.3014 -0.3630 -0.5037 -0.6602
A7 -0.2204 -0.2567 -0.2678 -0.2509 -0.2415 -0.2080 -0.2449 -0.3693 -0.5249 -0.6694
A8 -0.0693 -0.1187 -0.0950 -0.0614 -0.0491 0.0185 0.0235 -0.2022 -0.5062 -0.6443
A9 0.2929 0.3058 0.3282 0.3509 0.3603 0.4033 0.4614 0.4286 0.0067 -0.4731
A,10 0.7946 0.7995 0.8067 0.8151 0.8188 0.8340 0.8725 0.8708 0.7831 0.3349
2,2 -0.3596 -0.3740 -0.3820 -0.3724 -0.3661 -0.3465 -0.3585 -0.4271 -0.5671 -0.7004
3,3 -0.3953 -0.4011 -0.4185 -0.4152 -0.4094 -0.3911 -0.4024 -0.4664 -0.5968 -0.7209
4,4 -0.3108 -0.3502 -0.3641 -0.3476 -0.3381 -0.3053 -0.3495 -0.4815 -0.6271 -0.7359
5,5 -0.1013 -0.1118 -0.1135 -0.0992 -0.0912 -0.0631 -0.0605 -0.1311 -0.3591 -0.5948
6,6 -0.4425 -0.4551 -0.4614 -0.4530 -0.4476 -0.4307 -0.4407 -0.4993 -0.6206 -0.7367
7,7 -0.5193 -0.5301 -0.5356 -0.5284 -0.5237 -0.5091 -0.5178 -0.5683 -0.6728 -0.7729
8,8 -0.5576 -0.5438 -0.5797 -0.5933 -0.5893 -0.5767 -0.5842 -0.6277 -0.7179 -0.8042
9,9 -0.2234 -0.3220 -0.3406 -0.3066 -0.2907 -0.2250 -0.3380 -0.6035 -0.7535 -0.8106
10,10 0.2929 0.3058 0.3282 0.3509 0.3603 0.4033 0.4614 0.4286 0.0067 -0.4731
A,A 0.0934 0.0762 0.0522 0.0573 0.0708 0.0311 0.0187 -0.1607 -0.3854 -0.5802
 

基本策略

 

以下圖表顯⽰針對低牌的基本策略

以下圖表顯⽰針對⾼牌的基本策略

基本策略圖表的代號:
停 = 停住不補
補 = 補牌
加 = 加倍賭注
分 = 分牌

應該注意的是, 在這個基本策略與這個遊戲的紀錄數學家有某些不同之 處。這裡是⼀些牌⾯他與我們的不同玩法:

  • 低牌 — 9,9 對抗 10 或 A: 停住不補
  • 低牌 — 7,7 對抗 2: 分牌
  • ⾼牌 — A,A 對抗 9: 補牌
 

賭場優勢

 

在完成我的分析之後, 我發現這個遊戲的紀錄數學家得到的賭場優勢為 1.64%. 這個數值⽐我得到的2.61%還要更低。我考量我的分析是相當粗 略的、所以遵從1.64%的數值。

Poker撲克Side Bet邊注

 

以下列表顯⽰Poker撲克side bet邊注每⼀種可能結果的機率與回報率。右 下⽅的欄位顯⽰其賭場優勢為7.40%.

Poker撲克Side Bet邊注

牌⾯ 賠率 排列組合總數 機率 回報率
四條 250 13 0.000048 0.012005
同花順 75 44 0.000163 0.012189
同花 9 2,816 0.010402 0.093615
順⼦ 7 2,772 0.010239 0.071674
三條 5 2,496 0.009220 0.046098
兩對 4 2,808 0.010372 0.041489
對⼦ 1 82,368 0.304250 0.304250
其他所有牌⾯ -1 177,408 0.655307 -0.655307
總計   270,725 1.000000 -0.073987

連結

 

討論關於「Your Way 21點」在 Wizard of Vegas拉斯維加斯巫師.

⽅法

 

這個分析相當困難。最後的賭場優勢是三種試算表與兩種各別電腦程式包 含2,000⾏編碼的結果。如上所述, 我與遊戲紀錄的數學家之間有⼤約1% 的差值, 對他我不會表⽰⾮議。現在我會有所保留地對這個遊戲做出任何 的分析。


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